https://dictionary.cambridge.org/ja/dictionary/english/

English Grammar Today: An A?Z of Spoken and Written Grammar

https://dictionary.cambridge.org/ja/grammar/british-grammar/

at any rate  idiom

・whatever happens, in any  event, in any case

　何が起ころうとも、どんな場合でも、何としても

Well, I'm not going home on  foot, at any rate.

　よし、僕は何としても歩いて帰宅はしない積もりだ。

・something you say to show that you are going to say something more exactly:

　より正確に物事を言おうとする時に述べる出だしの言葉、少なくとも

= at least

It was a mediocre film, but at any rate there was one outstanding individual  performance.

　それは平凡な（二流の）動画だったが、１人の傑出した演技が少なくとも見られた。

I don't think they liked my idea. At any rate, they weren't very enthusiastic  about it.

　彼らは僕の考えが好きではなかったと僕は思う。少なくとも連中はそれに熱意を余り抱いては居なかったし。

＊＜兎に角＞と訳すと anyway （前言を無視して無理に話を進める）の意を含み、正確な日本語とはなりません。

at least  idiom

�@ as much as, or more than　a number or amount:

　少なくとも、最小限でも （数量に関する表現）

It will cost at least $100.

　少なくとも１００ドル掛かるだろう。

I wake up seven am at least.

　少なくとも私は７時には起きる。（口語表現）

→I wake up seven am at latest.

　遅くとも私は７時には起きる。

It will be £200 at the very  least.

　まさに最低でもきっかり２００ポンドは掛かるだろう。

cf. the very ＋（極端を表す）名詞

　まさに〜の

You'll have to wait at least  an hour.

　君は少なくとも１時間は待つ必要がある。

�A used to reduce the effect  of a statement

　発言した言葉の作用を和らげる

I've met the president - at  least, he shook my hand once.

　僕は大統領に会った、つうか、少なくとも握手は一度して貰ったんだ。

�B used to emphasize that something is good in a bad situation:

　悪い状況の中でも良い点があることを強調する、でもまだ〜で良い

It's a small house but at  least there's a garden.

　小さな家だが、でも少なくとも庭がある（のがいい）。

I started to study English at 42, but at least I didn't start at age 80!

　４２歳の時に英語を真剣に勉強し始めたけど、８０歳で始めた訳じゃないのがまだ良かった！

�C used to say that someone should do something small, even if they do  nothing else:

　他に何もしていないにせよ、何か小さな事をすべきと言う時に使う

Even if she didn't want to send a present, she could at least have sent a card.

　プレゼントを贈りたくなかったにせよ、彼女は少なくともカードぐらいは送れたろう。

＊以上から分かりますが、日本語の＜少なくとも＞と全く同じ利用が出来ますね。

量的、気持ち的、要望・行動規準的に、最低限のラインを示します。

at the same time　idiom

　同時に

used to mention something that must be considered in addition to what you   have just said:

　あなたが直前に述べたことに加え、考慮に入れねばならないことを言う

No one likes conflict, but at the same time we have to deal with this problem.

　誰も口論は好まない。しかし同時に、この問題を扱わねばならない。

　（これだと日本語として奇妙になります）

→誰も口論となるのは好まないが、しかしそれでもこの問題を避けるわけにはいかないのだ。

＊＜同時に＞と訳すと日本語として奇妙になる場合は適宜訳を変えて下さい。

deal with this problem = discuss this problem この問題について議論する

We arrived at the same time.

　僕らは同時に着いた。

＊at the same time は、物理時間的に同時に、の意味に加え、考慮すべき主題を併記、追記するためにも使います。

cf. simultaneously

　ガチガチに、物理時間的に同時に、の意味です。

The two mass  movements  were started simultaneously.

　その２つの大衆運動は時を同じくして始まった。

We arrived simultaneously.

　僕らは同時に着いた。

be that as it may  idiom　formal

　たといそうであっても、そうだとしても〜に違いは無い

used to mean that you accept that a piece of information is true but it does   not change your  opinion of the subject you are discussing:

　情報の一部が真実である事は認めるが自分の意見を変えるには至らない、ことを示す

Building a new children's home will cost a lot of money but, be that as it may,   there is an  urgent  need for the facility.

　子供の家を新たに建設することは多額の費用が掛かる。そうだとしてもその施設は緊急に必要なのだ。

= Building a new children's home will cost a lot of money but, even if  （=    granting that） it may  be true, there is an urgent need for the facility.

but

・used to express a difference or to introduce an added statement:　

　異なる事を表明／付け加えの発言を導入する、　でも

You can take Route 14 to get there, but it may take you a little longer.

　そこに行くのにルート１４を取ってもいいが、すこし時間が掛かるかもしれない。

We enjoyed our vacation a lot, but it was expensive.

　休暇は大いに楽しんだ。でも高く付いた。

・used to introduce an added statement, usually something that is different   from what you have  said before:

　事前に述べたことと異なる内容を導入する　　しかし、だが

She's very hard-working but  not very imaginative.

　彼女はとても努力家だけど、想像力はあまり無いね。

This is not caused by evil, but by simple ignorance.

　これは悪意によってではなく、単純な無視によって起こされる。

I'm sorry, but I think you're wrong when you say she did it deliberately.

　失礼ながら、彼女が故意にそうしたと君が言うのは間違っていると思う。

Call me old-fashioned, but I like handwritten letters.

　そうさオレは時代遅れさ。でも手書きの手紙が好きなんだ。

"She said she's leaving." "But why?"

　彼女は去ると言ってたよ。でもなんで？

You can invite Keith to the party, but please don't ask that friend of his.

　キースをパーティに招待してもいいけど、彼の例の友達にはどうかそれは止めて呉れ。

We must not complain about the problem, but (= instead we must) help to put   it right.

　その問題に文句を言ってはならない。が（＝その代わりに）それを解決しろ。

→その問題にがたがた言ってないで解決しろや。

＊but は、全く逆の内容をつなぐもの、つまりは＜逆接＞の言葉ではなく、別の視点  aspect からの内容を単純に付け加える為に多面的に利用される接続詞と理解して下さい。日本語の口語の＜しかし＞＜でも＞の用法と全く同じですね。九州西部方言の＜ばってん＞にも意味的に近そうです。発音も似ていますね！

＊この意味で接続詞として曖昧性を含んで居ますので、論文では however, in 　addition などの明確な論理接続詞を使用する方が良いと思います。

but then (again)

idiom

but when you think about the matter more or in another way:

　物事を更に考えたり別の視点から考える　　そうは言っても

I agree she types accurately, but then again, she's very slow.

　彼女が正確にタイプを打つのには同意するけど、そうは言ってもとても遅いんだ。

come what may

idiom

whatever happens:　何が起ころうとも

I shall be there tonight come  what may.

　何がおころうが今夜はそこに居る積もりだ。

It's always good to know that, come what may, your job is safe.

　何があろうと君の仕事が大丈夫と知るのが僕はいつも嬉しい。

considering

・used to mention a particular condition or fact about something, usually a   disadvantage:

　特別な状態や事実−通常は不利点−を述べる

　不利な状況を考えると、でも〜だ、　〜の割には〜だ

Considering the weather, we  got here pretty quickly.

　（悪い）天候の割には、我々はここにとても速く到着した。

I was impressed that she found the way here, considering she'd only been   here  once before.

　以前ここには一度しか来た経験が無かったことを考え、彼女がここへの道を見つけたことには私は感動した。

cf. be impressed with (that )  〜に感動する、印象づけられる

My grandpa's attitudes are very modern, considering his age.

　私のお爺ちゃんの振る舞いはとてもモダンなの。トシを考えると（トシの割には）。

= My grandpa's attitudes  are very modern  for  his  age.

＊considering 〜　で、〜のことを考えて、との単純な分詞構文の用法も有ります。

cf. taking into consideration  that 〜を考慮に入れると　

　　こちらは単純に、考えに入れる、との用法です。